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2次曲線の標準化と対称行列の固有値および固有ベクトルとの関連

 投稿者:管理者  投稿日:2012年 5月 4日(金)19時02分35秒
  以前(2007年投稿)、xy=kのグラフを双曲線の標準形にすることを触れたが、xy項を消去するために、座標軸の回転を行う。点(x,y)が回転後の新座標で点(X,Y)に対応するとき、一次変換式、x=Xcosθ-Ysinθ、y=Xsinθ+Ycosθで表される。この式を代入して、xyの項を消去できるθを求める。θの定義域を-π/2=<θ<=π/2とすると、2つの回転角が求められる。回転方向が、正と負である。しかし、数学参考書には、2次曲線標準化問題の解答で、一つの回転角度のみ記載しているのが、ほとんどである。
  正負の回転角度に対応する新座標での標準形は、楕円曲線5x^2-2√3xy+3y^2-6=0を例にすると、回転角度に対応して長軸と短軸が逆の形になる。すなわち、θ=π/3のとき、x^2/3+y^2=1、θ=-π/6のとき、x^2+y^2/3=1。しかし、勿論いずれの場合も、旧座標系の曲線を表し、正負の回転方向の違いだけである。2種類の回転方向によって、2つの標準形ができる理由を2次曲線の方程式の行列表現と関連づけて、今回考察してみた。
 上式の方程式を行列で表現したとき、x,y,xy項の係数について、行列(p1 p2)で表現できる。これを行列Aとする。ただし、p1,p2はp1=(5 -√3) p2=(-√3 2)の列ベクトルである(テキスト形式での掲載制限があるので行ベクトルで標記している)。一般に行列Aが異なる2つの固有値α、βをもつとき、その固有ベクトルをそれぞれr1,r2とすると、R=(r1 r2)を用いて、行列Aを対角化できる。すなわち、R^(-1)AR=(s1 s2)。ただし、s1=(α 0)、s2=(0 β)。上記の例の場合、固有値は6、2である。仮にα=6、β=2とするとs1=(6 0)、s2=(0 2)。しかし、2次曲線標準化に関する解説で、ほとんどの参考書は一つの対角行列のみで解説している。もうひとつの対角行列(s3 s4)、ただしs3=(β 0)、s4=(0 α)があってもよいはず。すなわち、s3=(2 0)、s4=(0 6)である。この点を疑問にもち、熟考してみた。上例で回転角度θ=π/3のとき(s3 s4)、θ=-π/6のとき(s1 s2)が、それぞれ対応していた。
 行列表現での論理の展開を、理解するまで時間がかかったが楽しめた。私の高校時代は座標軸回転式までで、行列はテキストに含まれていなかった。
 
 

線分を三等分する方法

 投稿者:管理者  投稿日:2012年 5月 4日(金)18時55分22秒
   ある線分を目盛のない定規とコンパスで描く方法の解答率が低いという、新聞記事が出ていた。一つの解答を示したい。中学で習った線分の二等分と、角の二等分する方法は問題ない。要点は二等分した半線を2:1に内分する点を作図することである。これは、過去のセンター試験で、頻出する「三角形の角の二等分線は対辺を挟む2辺の比に内分する」定理を利用する。以下に作図の方法を記す。
①線分の中線を引く
②線分の一端から中点までの長さを半径として、線分の中点を中心にして、円を描く。
③その半径で線分の一端から円に円弧を書く。
④線分の一端から隣の円弧と円周との交点を通る延長線を引き、中線との交点を求める。
⑤線分と延長線とのなす角度は60度であるから、角の二等分線を引く。
⑥その二等分線と中線との交点でなす角度の二等分線を引き、線分との交点を求める。
⑦その交点は線分の半分を2:1に内分する点であるので、中線からこの交点までの距離で、反対側の3等分点を求める。
 

2変数関数の極値と偏微分

 投稿者:管理者  投稿日:2010年 7月12日(月)21時12分37秒
   下記の京都大学入試問題の解法から思考を巡らせたのでふれてみたい。
問題「X>0,Y>0, Z>0でX+Y+Z=πのとき、sinXsinYsinZの最大値を求めよ」
ある参考書の解法は、Z=π-(X+Y)をsinXsinYsinZに代入して、XとYの2変数にし、いずれか一方を定数とし、他方を変数として微分し、極大値を求める。さらに、その極大値のとき、定数とした変数で極大値を求めて、最大値を算出していた。しかし、その論拠は一切ふれていない。解法の要点はZを消去して、XとYの2変数関数とし、変数Xでの最大値と変数Yでの最大値を同時にとるきが、XとYの2変数関数の最大値である。この点に関して考察した。上記の解法は、大学で習う偏微分の概念である。2変数関数のとる極値の定義に従い、実際に解法してみても、同じ答になる。X,Yについて、それぞれ2回微分可能であり、曲面の山(極大値)、谷(極小値)は、なめらかな曲面で形成される。極値は、十分小さい範囲で、どの関数値の取る値よりも、大きいかまたは小さい。上記の解法の根拠がわかる。
ところで、微分以外に、もっと簡単明瞭な解法がある。それは、相加、相乗平均の大小関係を表す不等式での解法である。答えは、最大値3(√3)/8で、X=Y=Z=π/3のとき。挑戦してみてください。
  さらに、この問題から次の類題を考えてみた。「X>0,Y>0, Z>0でX+Y+Z=1のとき、XYZの最大値を求めよ。」
同様にして、微分法でも、相加、相乗平均の大小関係の不等式から解法できる。ただ、この問題を立体空間図形で考えてみるとおもしろい。X+Y+Z=1はXYZ軸上で原点Oから距離1の点からなる平面方程式である(ただし各軸上の点は含まない)。これはXYZの各軸を辺とする四面体と考え、この四面体の中で、XY軸上、およびX+Y+Z=1平面上にZ値の頂点をもつ直方体の体積をXYZは表していることになる。つまり、この直方体の体積が最大になるときを求めることにほかならない。最大値は、1/27(X=Y=Z=1/3のとき)で、直方体が立方体になるときであり、原点からX+Y+Z=1平面上の点までの立方体の対角線が1/(√3)のときである。つまり、原点からこの平面に垂線を下ろしたときである。
 

3元連立方程式の特定解と平面方程式との関連

 投稿者:管理者  投稿日:2009年10月 3日(土)17時06分6秒
   3元(S,T,U)連立1次方程式をa1S+a2T+a3U=X,b1S+b2T+b3U=Y,c1S+c2T+c3U=Zとする。ただし、a1,a2,a3, b1,b2,b3, c1,c2,c3およびX,Y,Zは定数とする。この3式をみたす解、(S,T,U)がただ1つ存在するための条件を考えてみたい。行列表現で考えれば、係数行列の行列式がゼロでなければよい。一方前回掲示板で示した平面方程式として考えればどうなるか。ただ1つの解が存在するためには、3式に相当するそれぞれの平面が、どのように交わればよいのか。2つの平面が交わると交線(直線)ができ、ここにもう1つの平面がそれぞれの平面とさらに交わり、交線同士が1点で交差しなければならないことになる。法線ベクトルを利用して平面を捉えて考えると、行列式で考えた係数行列の行列式がゼロでなければよいことと一致することが導ける。3元連立1次方程式も種々の局面から考察すると面白くなる。  

定点から平面までの距離の公式の応用

 投稿者:管理者  投稿日:2009年 9月27日(日)12時51分31秒
   平面上にない定点A(x1,y1,z1)から平面aX+bY+cZ=d までの距離Lとすると、平面の法線ベクトルを用いて、L={ax1+by1+cz1-d}/√(a^2+b~2+c^2)  であることが、容易に導ける。 ただし{ }は絶対値とする。驚くことに、高校数学で学習する定点から直線までの距離の公式に極めて類似している。これを応用して、立体の頂点から底面までの高さを求めるときなどに応用できる。例えば、一辺sのABCD-EFGH立方体の上面ABCDと底面EFGHにおいて、底面の隣り合う辺FG, GHのそれぞれ1/3の長さの点をQ, Rとし、上面の対角線AC上でその長さの1/3の点Pとする。ただし、平面PQRは底面EFGHに垂直でないものとする。
 立方体の頂点Eから平面PQRまでの距離は、P,Q,Rの座標を求め、平面方程式を決定し、この公式を利用して比較的簡単に求められる。
 

平面の法線ベクトルと平面方程式

 投稿者:管理者  投稿日:2009年 9月27日(日)12時50分20秒
    平面方程式をベクトルから導出するとき、法線ベクトルを利用すると便利である。あるベクトルに垂直な平面は無数にあるが、ある定点を含む平面は、1つに決定できる。法線ベクトルとは、平面に垂直なベクトルである。平面上の任意の点P(x, y, z)、定点A(x1,y1,z1)、法線ベクトルをh=(a,b,c)とすると、内積AP・h=0である。したがって、a(X-x1)+b(Y-y1)+c(Z-z1)=0であり、整理するとする aX+bY+cZ=d (ただし、a,b,c,dは定数でax1+by1+cz1=dである)の平面方程式がえられる。 ここで、例えば定数c=0のとき、この平面は(x,y)平面に垂直で、任意のz座標をとる平面方程式となる。この平面とz=0の平面との交線が、(x,y)座標でaX+bY=dの直線方程式を表すとみることもできる。  

極方程式での偏角のとりうる範囲は

 投稿者:管理者  投稿日:2009年 6月 9日(火)10時19分13秒
   座標平面上の任意の点Pを、原点Oを極とする動径r(OP)と始線に対し、正の方向になす角θ(偏角)とで表す極方程式は、前回でも触れたが、楕円、放物線、双曲線に関して、直交座標での方程式より簡便である。太陽を極(焦点)とする極座標で惑星に働く唯一の力が動径方向(向心力)の万有引力であるとして、微分方程式を解くことでr=L/(1+ecosθ)が導ける。L:半直弦、e:離心率。史実上は、ニュートンはケプラーの法則から万有引力の法則を導き出したのだが。
上記の軌道を表す極方程式で、偏角θを独立変数、rを従属変数とみると、
r>0(値域)であるから、θのとりうる範囲(定義域)はどうなのかを考えてみたい。
r>0より、L>0。よって1+ecosθ>0であるから、cosθ>-1/e ―①となる。
1) 0<e<1のとき
cosθ>-1>-1/eで、0<=θ<=2πのすべての偏角で①は成立する。すなわち、楕円のとき、焦点(極)のまわりのすべての偏角に対して、rが存在する。
2) e=1のとき
cosθ>-1であるから、θ=π以外の偏角に対しrが存在する。これは、放物線のとき、焦点を含む始線に平行な方向にrは存在しないことを示していて、放物線に適合している。
3) e>1のとき
cosθ=-1/e となる偏角をθ1、θ2(0<θ1<θ2<2π)とすると、①を満たす範囲は0<=θ<θ1、θ2<θ<=2πにおいて、rは存在する。これは、双曲線の2つの漸近線が焦点を含む始線に対してそれぞれなす角θ1、θ2であり、双曲線に適合している。実際に、適当にeを決め、双曲線を描くと、双曲線といえども片側しか現れない(重力など引力の場合)。対称となるもう一つの双曲線はどのような場合に現れるのか。それは、2電荷間に働く静電気力が、斥力の場合である。
 以上のように、二次曲線以外の直線、円などの極方程式で偏角θのとりうる定義域についても考察してみるのも、理解が深まる。
 

平均を見なおしてみる(2)

 投稿者:管理者  投稿日:2009年 1月11日(日)08時45分3秒
  前回に続き、確率変数の期待値(平均値)を考え直してみると、各確率変数の確率の和は1であるので、それは加重平均になっていることがわかる。また、分散についても、偏差の二乗の平均(度数で表わされるときは、加重平均)である。平均の性質上、左右対称分布を示すデータについては、各データは平均値の周りに、ばらついている。
 視点を変えて、統計学での母集団と標本との関連で平均値を見てみる。推測統計学の目的は、母集団から抽出した数少ない標本のデータをもとに、母集団の特性を推測し明らかにすることである。その特性を表わす統計値として、平均、分散、標準偏差、中央値、最頻値などの指標があるが、なかでも特に重要なものが平均、標準偏差である。
 社会現象、自然現象のデータの分布が、正規分布で表わされるものがある。正規分布の特徴として、データは平均値μの周りにばらつき(ばらつきは標準偏差σで表わされる)、μ±σ、μ±2σ、μ±3σのそれぞれの範囲に、68%、 95% 99%の確率で分布している
 一方、正規分布を示す母集団から抽出した標本平均の分布も、標本数nが十分大きければ正規分布を示す。標本平均の平均値は、母集団の平均値の近づく。このことを実験的にシュミレーションできる。Excelで乱数を発生させ母集団として乱数集団をつくり、これより標本平均を取り、標本数nを大きくしていくと、母集団の平均値に近づくことを実感できる。
 推測統計学の母平均の推定において重要な基礎となっているのが、中心極限定理である。母集団が任意の分布(母平均μ、標準偏差σ)であっても、標本数nが十分大きければ標本平均の分布は、正規分布(母平均μ、標準偏差σ/√n)を示す。以上のことから、数少ないデータの標本平均から母集団の平均値を推定することができる。
 

平均を見なおしてみる(1)

 投稿者:管理者  投稿日:2008年12月14日(日)23時41分25秒
   数学Cで学習する確率変数の期待値を平均とも言うが、それは、確率変数と確率変数の確率との積の和で表わされる。その意味を考えることから思考が始まり、統計学の平均の意味にまで発展した。今回、小学校の算数以来、馴染みのある「平均」について、統計学的視点から再考してみたい。
 平均は通常、相加平均で表わす。すなわち、データの合計をデータの個数で割った値である。しかし、データに意味をもたせた場合は、加重平均で表わす。例えば、60kmの距離の行程で前半を時速20km/h、1時間で、後半を時速80km/h、0.5時間で行ったとすると、その平均速度は?(20+80)/2=50とすると誤りである。速度に意味を持たせた加重平均で求め、(20x1+80x0.5)/(1+0.5)=40が正解である。
 「平均」は文字どおり、ばらつきを平らに均した値である。上記の例で、時間(横軸)と速度(縦軸)の棒グラフに表わせば、凹凸(ばらつき)のあるグラフになる。したがって、平らに均してひとつの棒グラフにしたとき、縦軸の値が平均速度となる。すなわち、平均したときの棒グラフの面積と、平均化する前の和のそれとは等しいはずである。棒グラフの面積の合計は距離(60km)であり、横軸はかかった時間(1.5時間)である。同様に、統計学でデータを階級に分けて、その階級に含まれる度数で表わされた場合は、平均は加重平均で求めることになる。
 例えば身長、度数で表わされた棒グラフで平均身長は、度数を質量、身長を距離としたときのつりあいの中心、つまり重心と同じになる。ちなみに、物理学でいう質量中心(重心)は、質量miの基準点からの距離をdiとすると、この系での重心xgは、xg=∑(mi x di)/∑miである。
 

黄金比から生物のもつ自己相似性へ

 投稿者:管理者  投稿日:2008年 7月25日(金)01時54分22秒
    フィボナッチ数列とは、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、・・・・・・・・・で表せる数列で、一般項は第3項以降、直前の2項の和になっている。すなわち、一般項をXnとすると、その漸化式はXn+2=Xn+1+ Xn (ただしX1= X2=1)となる。元々、この数列は、フィボナッチが「うさぎの出生率に関する数学的解法(うさぎのつがいの問題)」で提示したものである。一般項は高校数学で習う漸化式の係数の解法で求められる。一般項はXn=1/√5{{(√5+1)/2}^n-{(1-√5)/2}^n}であり、まさに式の中に黄金比が現れる。
   自然界に見られるフィボナッチ数を挙げてみる。花びらの数について、コスモス8枚
チングルマ5枚、フヨウ5枚、ムクゲ5枚、ソメイヨシノ5枚、ツワブキ13枚、マーガレット21枚、ヒマワリは34枚または55枚などが多い。葉のつき方(葉序)の互生において、軸の下方から一つ葉と同じ位置に次の葉がつくまでの回転数R、葉の数FとしたときのR/Fを開度といい、具体例は挙げないがR、Fともにフィボナッチ数が現れ、開度はXn/Xn+2で示される。葉が重ならないで、均等に太陽の光をうけられるように合理的になっている。前述の一般項から、その極限値は計算され、一回転あたりの葉のなす角度が、究極360度のφ^(-2)倍の約137度になる(シンパー・ブラウンの法則)。健康管理を兼ねて、散歩、ハイキングをしているが、その道すがら出会う花や木々をフィボナッチ数の観点から、今後も興味をもって調べたい。
      自然界に螺旋(らせん)が多く見られる。例えば巻貝の貝殻模様、カタツムリ、アンモナイト、オウムガイ、台風の雲の渦、宇宙の星雲の渦、松かさ、ひまわりの管状花(成長して種ができる部分)の模様などである。松かさの左右のらせん数、ヒマワリのそれもフィボナッチ数になっていることが多い。数学上は、これらのらせんは対数らせん(等角らせん)に分類できる。対数らせんとは、極方程式であらわされる回転中心の極から引いた直線とらせんとの交点において、接線と直線とのなす角が常に一定であるらせんである。極方程式はr=ae^(θcotb)(a,bは定数) である。
縦と横が黄金比からなる長方形の横をさらに黄金分割して正方形と長方形に分割することを繰り返せる。この正方形の1/4円をつないでいくと対数らせんが得られる。このように、対数らせんとフィボナッチ数とに密接な関連が現象として認められてきたが、なぜ、そうなるのかドアディーとクデが、物理実験とコンピューターでのシュミレーションで証明している。
      自然界の見せる対数らせんの最も重要なことは、その性質上、極を通る直線で等角ずつらせんを分割したとき、それらのらせんはすべて相似であること。これは、生物の成長を考えたとき、相似形で成長していくことに合目的である。一部分が全体と相似である自己相似性がある。正五角形を描き続けると、相似形の正五角形を中心(内部)に向かって書くことができる。フィボナッチ協会のシンボルマークにも同様な相似形の正五角形が描かれている。正しく自己相似性の意味を表している。
 

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